対数の定義
\(a \neq 1\), \(a > 0\), \(M > 0\)
- \(\log{a}{M} =p \Leftrightarrow M=a^p\)
- \(\log{a}{a^p} = p\)
以上は対数関数の定義です。\(a\)を「底」、また正の数\(M\)を「真数」といいます。指数の逆計算という性質上、aは1の場合を考えません。
対数の基本公式
- \(\log_{a} M^k = k \log_{a} M\)
- \(\log_{a} M + \log_{a} N = \log_{a} MN \)
- \(\log_{a} M – \log_{a} N = \log_{a} \frac{M}{N}\)
- \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)
（１）の証明
\(\log_{a} M = p\)とする
\(M = a^p\)より\(M^k = (a^p)^k\)
指数法則\((a^p)^k = a^{k \cdot p}\)より
\(M^k = a^{p \cdot k}\)
対数を取ると
\(\log_a M^k = k \cdot p = k \log_a M\)
（２）の証明
\(\log_{a} M = p, \log_{a} N = q\)とする
\(M = a^p, N = a^q\)
よって
\(MN = a^p \cdot a^q\)
指数法則\(a^p \cdot a^q = a^{p + q}\)より
\(MN = a^{p + q}\)
対数を取ると
\(\log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N\)
（３）の証明
\(\log_{a} M = p, \log_{a} N = q\)とする
\(M = a^p, N = a^q\)
よって
\(\frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q}\)
指数法則\(\frac{a^p}{a^q} = a^{p – q}\)より
\(\frac{M}{N} = a^{p – q}\)
対数を取ると
\(\log_a \frac{M}{N} = p – q = \log_a M – \log_a N\)
（４）の証明
\(log_a b = p\)とする
\(b = a^p\)
両辺にcを底とする対数を取ると
\(\log_c b = \log_c a^p\)
（１）より
\(\log_c b = p \log_c a\)
\(\log_c a\)で両辺を割ると
\(p = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)
\(log_a b = p\)なので
\(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)
基本的には（１）の証明を参考にすればすべて導けるでしょう。
物理では（４）を使うことは滅多にありませんが。