対数関数の基本公式の証明

対数関数の基本公式を証明する

対数の定義

\(a \neq 1\), \(a > 0\), \(M > 0\)

  1. \(\log{a}{M} =p \Leftrightarrow M=a^p\)
  2. \(\log{a}{a^p} = p\)

以上は対数関数の定義です。\(a\)を「底」、また正の数\(M\)を「真数」といいます。指数の逆計算という性質上、aは1の場合を考えません。

対数の基本公式

  1. \(\log_{a} M^k = k \log_{a} M\)
  2. \(\log_{a} M + \log_{a} N = \log_{a} MN \)
  3. \(\log_{a} M – \log_{a} N = \log_{a} \frac{M}{N}\)
  4. \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)

(1)の証明

\(\log_{a} M = p\)とする

\(M = a^p\)より\(M^k = (a^p)^k\)

指数法則\((a^p)^k = a^{k \cdot p}\)より

\(M^k = a^{p \cdot k}\)

対数を取ると

\(\log_a M^k = k \cdot p = k \log_a M\)

(2)の証明

\(\log_{a} M = p, \log_{a} N = q\)とする

\(M = a^p, N = a^q\)

よって

\(MN = a^p \cdot a^q\)

指数法則\(a^p \cdot a^q = a^{p + q}\)より

\(MN = a^{p + q}\)

対数を取ると

\(\log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N\)

(3)の証明

\(\log_{a} M = p, \log_{a} N = q\)とする

\(M = a^p, N = a^q\)

よって

\(\frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q}\)

指数法則\(\frac{a^p}{a^q} = a^{p – q}\)より

\(\frac{M}{N} = a^{p – q}\)

対数を取ると

\(\log_a \frac{M}{N} = p – q = \log_a M – \log_a N\)

(4)の証明

\(log_a b = p\)とする

\(b = a^p\)

両辺にcを底とする対数を取ると

\(\log_c b = \log_c a^p\)

(1)より

\(\log_c b = p \log_c a\)

\(\log_c a\)で両辺を割ると

\(p = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)

\(log_a b = p\)なので

\(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\)


基本的には(1)の証明を参考にすればすべて導けるでしょう。

物理では(4)を使うことは滅多にありませんが。